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| Letra grega phi maiúscula |
Existe certo misticismo sobre este número por estar presente em diversas estruturas naturais e obras clássicas de todo o mundo, o que lhe cunhou a denominação de proporção divina.
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| A Grande Pirâmide de Gizé tem a razão áurea entre a lateral e metade da base |
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| O templo Partenon usa a proporção de ouro várias vezes |
Esta constante deriva-se da sequência de Fibonacci, a conhecida sucessão de inteiros onde cada número é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Quando se divide um número de Fibonacci pelo seu antecessor, obtém-se um produto próximo à proporção áurea. Na verdade, quanto maiores os números escolhidos, mais próximo o resultado:
Fibonacci é o nome pelo qual é conhecido o matemático italiano Leonardo de Pisa, que tornou a sucessão popular na Europa no século XII ao utilizá-la em uma de suas obras escritas. Observemos a proporção áurea mais uma vez, agora na natureza:
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| O dedo humano tem proporções que seguem a sequência de Fibonacci e, portanto, a razão áurea |
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| As linhas da espiral de sementes do girassol crescem em razão áurea: a diferença de tamanho entre os arcos destacados segue a sequência de Fibonacci |
A comunidade OpenProcessing tem diversos exemplos relacionados à proporção áurea desenvolvidos com Processing. Analisemos a relação entre os modelos natural e matemático da disposição das sementes de girassol que resultam no modelo computacional obtido neste sketch:
MODELO NATURAL
As sementes do girassol formam arcos em uma estrutura notável:
Outras espécies de plantas apresentam estrutura similar, como a margarida.
MODELO MATEMÁTICO
Como destacado anteriormente, os arcos cruzados que se formam através desta disposição específica crescem segundo a razão áurea. O modelo matemático que descreve este crescimento utiliza a constante phi. Cada semente nasce em um ângulo de aproximadamente 137,5° em relação à anterior. Este valor é o resultado da divisão de uma volta completa (360°) por phi (1,618...) subtraído de uma volta completa:
MODELO COMPUTACIONAL
Para tornar o exemplo escolhido mais compreensível, reformulei e comentei e código:
No código reformulado, explico detalhadamente a construção do modelo computacional. Aqui no blog, comentarei apenas os resultados observados.
No sketch escolhido, o autor não torna explícito o modelo matemático, mas utiliza o resultado: a cada iteração, rotaciona-se a referência da tela em 137,5° para desenhar a próxima semente (linha 11 no código original). A semente se distancia do centro da estrutura a cada frame, representando a passagem do tempo.
Para melhor visualização, modifiquei o exemplo para exibir apenas as 3 primeiras sementes. Após determinado tempo, obtemos esta disposição:
Essa sequência de ângulos se repete até formar a estrutura completa das sementes:
Este modelo computacional gera um produto gráfico atraente e de fácil compreensão por conta da animação e da separação espacial de cada "semente". Mas existe um outro modelo mais completo e flexível que nos permite explorar outras possibilidades a partir do mesmo modelo matemático.
MODELO COMPUTACIONAL 2
Este segundo modelo utiliza os mesmo princípios do primeiro, mas oferece variáveis de controle, o que permite experimentos muito mais variados. As variáveis relevantes são definidas nas últimas 4 linhas do setup:
- g: golden ratio, ou razão áurea
- gAng: golden angle, o ângulo obtido a partir do modelo matemático já apresentado
- rad: radius, o raio tomado como base para a estrutura das sementes
- rgrowth: growth reason, a razão de crescimento da estrutura, aumenta a distância entre as sementes e o centro da estrutura
O resultado é este:
Este resultado gera 21 espirais em sentido horário e 34 em anti-horário (números de Fibonacci), exatamente a quantidade de espirais da margarida. O modelo anterior tinha 13 e 21 espirais, respectivamente. Por que ocorre esta diferença, já que usamos o mesmo modelo matemático?
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| A margarida tem 21 espirais de sementes em sentido horário e 31 em anti-horário |
Modificando a razão de crescimento (rgrowth) de 1,004 para 1,008, conseguimos 13 e 21 espirais:
A razão de crescimento modifica a velocidade com que as sementes se distanciam do centro da estrutura. Valores maiores fazem as sementes se afastar mais rápido, a estrutura fica "aberta" e comporta menos espirais. Pode-se concluir então que a quantidade de espirais na estrutura depende da velocidade de crescimento da flor.
Retornando a razão de crescimento ao valor original, podemos fazer outros testes interessantes. Se modificarmos a distância angular entre as sementes em 1 grau para mais ou para menos, o resultado é visivelmente diferente do natural:
E se utilizarmos outra constante no lugar do phi, como o pi (3,1415...):
FONTES
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